Medidas de dispercion- estadistica descriptiva

Medidas de dispersión

Las medidas de dispersión muestran la variabilidad de una distribución, indicándolo por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.

Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmética. Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto (desviación media) y otra es tomando las desviaciones al cuadrado (varianza).

Rango estadístico

El rango estadístico es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo en un grupo de números aleatorios. Se le suele simbolizar con R.

Requisitos del rango

• Ordenamos los números según su tamaño.
• Restamos al valor máximo el valor mínimo.

${\displaystyle Rango={(Max-Min)}}$

Ejemplo

Para la muestra (8, 7, 6, 9, 4, 3, 2, 5), el dato menor es 2 y el dato mayor es 9. Sus valores se encuentran en un rango de:

${\displaystyle Rango=(9-2)=7}$

Medio rango o Rango medio

El medio rango o rango medio de un conjunto de valores numéricos es la media del mayor y menor valor. En consecuencia, el medio rango es:

${\displaystyle medioRango={\frac {\ (Max+Min)}{2}}}$

Ejemplo

Para una muestra de valores (3, 3, 5, 6, 8), el dato de menor valor (Min)= 3 y el dato de mayor valor (Max)= 8. El medio rango resolviéndolo mediante la correspondiente fórmula sería:

${\displaystyle medioRango={\frac {\ (8+3)}{2}}=5.5}$

Representación del medio rango: 

Varianza

Artículo principal: Varianza

La varianza es una medida estadística que mide la dispersión de los valores respecto a un valor central (media), es decir, es el cuadrado de las desviaciones: ${\displaystyle S_{X}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}{n-1}}}$

${\displaystyle S_{X}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}$

Propiedades

• La varianza es siempre positiva o 0: ${\displaystyle V_{X}^{2}\geq 0}$
• Si a los datos de la distribución les sumamos una cantidad constante la varianza no se modifica.

${\displaystyle Y_{i}=X_{i}+k}$

${\displaystyle S_{Y}^{2}={\frac {\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}{n}}={\frac {\sum [(X_{i}+k)-({\bar {X}}+k)]^{2}}{n}}={\frac {\sum (X_{i}+k-{\bar {X}}-k)^{2}}{n}}={\frac {\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}}{n}}=S_{X}^{2}}$

• Si los datos de la distribución son multiplicados por una constante, la varianza queda multiplicada por el cuadrado de esa constante.

${\displaystyle Y_{i}=X_{i}\cdot k}$

${\displaystyle S_{Y}^{2}={\frac {\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}{n}}={\frac {\sum (X_{i}\cdot k-{\bar {X}}\cdot k)^{2}}{n}}={\frac {\sum [k\cdot (X_{i}-{\bar {X}})]^{2}}{n}}={\frac {\sum [k^{2}\cdot (X_{i}-{\bar {X}})^{2}]}{n}}=k^{2}\cdot {\frac {\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}}{n}}=k^{2}\cdot S_{X}^{2}}$

• Propiedad distributiva: ${\displaystyle V(X+Y)=V(X)+V(Y)-}$ cov ${\displaystyle (X,Y)}$

Desviación típica

El resultado de la varianza a veces no es fácil de interpretar, ya que se mide en unidades cuadráticas. Para evitar ese problema se define otra medida de dispersión, que es la desviación típica, o desviación estándar, que se halla como la raíz cuadrada positiva de la varianza. La desviación típica informa sobre la dispersión de los datos respecto al valor de la media; cuanto mayor sea su valor, más dispersos estarán los datos. Esta medida viene representada en la mayoría de los casos por S, dado que es la inicial de su nominación en inglés.

Desviación típica muestral

${\displaystyle S={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{n-1}}}}$

Desviación típica poblacional

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{n}}}}$

-->x = [17 14 2 5 8 7 6 8 5 4 3 15 9]
x = 17. 14. 2. 5. 8. 7. 6. 8. 5. 4. 3. 15. 9.
-->stdev(x)
ans = 4.716311
-->

Primero hemos declarado un vector con nombre X, donde introduzco los números de la serie. Luego con el comando stdev se hallará la desviación típica.